انتشارات علمی و آموزش

دسترسی به همسالان بازبینی

توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته

Bijendra Singh 1 ، Omprakash Sikhwal 2 ، ، Yogesh Kumar Gupta 3

1 دانشکده مطالعات ریاضیات ، دانشگاه ویکرام ، Ujjain-456010 (M. P.) ، هند

2 گروه ریاضیات ، انستیتوی فناوری ماندساور ، Mandsaur (M. P.) ، هند

3 دانشکده مطالعات ریاضیات ، دانشگاه ویکرام ، Ujjain ، (M. P.) ، هند

خلاصه

دنباله فیبوناچی منبع بسیاری از هویت های خوب و جالب است. تعبیر مشابهی برای دنباله لوکاس وجود دارد. دنباله فیبوناچی ، شماره های لوکاس و تعمیم آنها دارای خصوصیات و برنامه های جالب بسیاری در تقریباً در هر زمینه است. توالی فیبوناچی با فرمول عود و f 0 = 0 ، f 1 = 1 تعریف می شود ، جایی که f n تعداد n توالی است. دنباله لوکاس با فرمول عود و L 0 = 2 ، L 1 = 1 تعریف شده است ، جایی که l n تعداد n توالی است. در این مقاله ، توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته توسط رابطه عود با B 0 = 2b ، B 1 = S ، که در آن B و S عدد صحیح هستند ، معرفی و تعریف می شود. ما برخی از هویت های استاندارد و هویت های تعیین کننده توالی های کلی فیبوناچی-لوکاس را با فرمول Binet و سایر روش های ساده ارائه می دهیم.

واژه های کلیدی: دنباله فیبوناچی ، دنباله لوکاس ، توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته ، فرمول Binet

مجله تجزیه و تحلیل و نظریه شماره ترکیه ، 2014 2 (6) ، صص 193-197. doi: 10. 12691/tjant-2-6-1

دریافت 15 سپتامبر 2014 ؛اصلاح شده در 24 اکتبر 2014 ؛پذیرفته شده 23 نوامبر 2014

کپی رایت © 2013 انتشارات علوم و آموزش. کلیه حقوق محفوظ است.

این مقاله را ذکر کنید:

• Singh ، Bijendra ، Omprakash Sikhwal و Yogesh Kumar Gupta."توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی."مجله ترکیه تجزیه و تحلیل و نظریه شماره 2. 6 (2014): 193-197.

• Singh ، B. ، Sikhwal ، O. ، & Gupta ، Y. K. (2014). توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته. مجله ترکیه تجزیه و تحلیل و نظریه شماره ، 2 (6) ، 193-197.

• Singh ، Bijendra ، Omprakash Sikhwal و Yogesh Kumar Gupta."توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی."مجله ترکیه تجزیه و تحلیل و نظریه شماره 2 ، شماره. 6 (2014): 193-197.

1. معرفی

اعداد فیبوناچی FN و Lucas اعداد l n با زیبایی و تمایل خود به ظاهر شدن در مکان های کاملاً غیر منتظره ، ریاضیدانان و آماتورها را به طور یکسان خوشحال کرده اند [3] ، [12] و [13]. به خوبی شناخته شده است که اعداد عمومی فیبوناچی و لوکاس نقش مهمی در بسیاری از موضوعات مانند جبر ، هندسه و نظریه شماره دارند. خصوصیات مختلف و کاربردهای گسترده آنها توسط بسیاری از نویسندگان مورد مطالعه قرار گرفته است.

توالی فیبوناچی و لوکاس نمونه هایی از توالی بازگشتی مرتبه دوم است. توالی فیبوناچی [4] توسط رابطه عود تعریف شده است:

(1. 1)

تعبیر مشابه نیز برای دنباله لوکاس وجود دارد. دنباله لوکاس [4] توسط رابطه عود تعریف شده است:

(1. 2)

نویسندگان [1 ، 2 ، 3 ، 4] و [6-13] [6] با حفظ رابطه عود و تغییر دو اصطلاح اول دنباله ، توالی عود مرتبه دوم تعمیم یافته اند ، در حالی که برخی دیگر با حفظ این توالی ها تعمیم داده انددو اصطلاح توالی اول اما تغییر رابطه عود کمی.

HORADAM [1] خواص یک توالی فیبوناچی عمومی را معرفی و مورد مطالعه قرار داد و توالی فیبوناچی تعمیم یافته را با رابطه عود تعریف کرد:

(1. 3)

اعداد صحیح دلخواه کجا هستند.

هورادام [2] خواص دیگری از توالی فیبوناچی دیگر را معرفی و مورد مطالعه قرار داد و توالی فیبوناچی تعمیم یافته را توسط رابطه عود تعریف کرد:

(1. 4)

اعداد صحیح دلخواه کجا هستند.

Waddill و کیسه ها [10] رابطه عود اعداد فیبوناچی را گسترش داده و دنباله را با رابطه عود تعریف می کنند:

(1. 5)

با توجه به اعداد صحیح جبر دلخواه ، صفر در کجا و نیستند.

Jaiswal [5] خواص توالی فیبوناچی عمومی را معرفی و مورد مطالعه قرار داد و آن را توسط تعریف کرد

(1. 6)

Falcon و Plaza [11] توالی فیبوناچی را معرفی کردند و خواص آن را مورد مطالعه قرار دادند. برای هر عدد صحیح مثبت ، توالی فیبوناچی توسط تعریف شده است

(1. 7)

در این مقاله ما توالی فیبوناچی-لوکاس و برخی از هویت های خاص و برخی از هویت های تعیین کننده را ارائه می دهیم.

2. توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته

دنباله فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته با رابطه عود معرفی و تعریف می شود:

(2. 1)

جایی که B و S عدد صحیح غیر منفی هستند.

چند اصطلاح اول به شرح زیر است:

معادله مشخصه رابطه عود (2. 1) که دارای دو ریشه واقعی است

(2. 2)

تولید توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته است

(2. 3)

فرمول بینه از دنباله فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته توسط تعریف شده است

(2. 4)

دنباله فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته بسیاری از توالی های کلاسیک را بر اساس ارزش B و S ایجاد می کند.

3. هویت توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی

اکنون برخی از هویت های توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی با استفاده از عملکرد تولید و فرمول Binet وجود دارد. نویسندگان [6 ، 7] چنین هویت های نوع توصیف شده اند.

قضیه (3. 1).(فرمول جمع صریح) بگذارید اصطلاح توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی باشد. سپس

(3. 1)

اثباتبا تولید عملکرد (2. 3) ، ما داریم

برابر با ضریب ما به دست می آوریم

با استفاده از مقادیر مختلف B و S در هویت فوق ، فرمول های صریح را می توان برای توالی فیبوناچی و لوکاس بدست آورد.

قضیه (3. 2).(جمع اصطلاحات اول) مجموع اصطلاحات اول توالی فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته است

(3. 2)

اثباتبا استفاده از فرمول Binet (2. 4) ، ما داریم

با استفاده از نتایج بعدی فرمول بینه ، ما دریافت می کنیم

قضیه (3. 3)..

(3. 3)

اثباتبا استفاده از فرمول Binet (2. 4) ، ما داریم

با استفاده از نتایج بعدی فرمول بینه ، ما دریافت می کنیم

قضیه (3. 4)..

(3. 4)

اثباتبا استفاده از فرمول Binet (2. 4) ، ما داریم

با استفاده از نتایج بعدی فرمول بینه ، ما دریافت می کنیم

قضیه (3. 5).(هویت کاتالان) اجازه دهید اصطلاح توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی باشد. سپس

(3. 5)

اثباتبا استفاده از فرمول Binet (2. 4) ، ما داریم

با استفاده از نتایج بعدی فرمول بینه ، ما دریافت می کنیم

نتیجه (3. 5. 1).(هویت کاسینی) بگذارید اصطلاح توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی باشد. سپس

(3. 6)

با استفاده از هویت کاتالونیا (3. 5) ، هویت مورد نیاز بدست می آید.

قضیه (3. 6).(هویت D'Ocagne) اجازه دهید اصطلاح توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی باشد. سپس

(3. 7)

اثباتبا استفاده از فرمول Binet (2. 4) ، ما داریم

با استفاده از نتایج بعدی فرمول بینه ، ما دریافت می کنیم

قضیه (3. 7).(هویت عمومی) بگذارید اصطلاح توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی باشد. سپس

(3. 8)

اثباتبا استفاده از فرمول Binet (2. 4) ، ما داریم

با استفاده از نتایج بعدی فرمول بینه ، ما دریافت می کنیم

هویت (3. 8) کاتالان ، کاسینی و D’Ocagne و سایر هویت ها را فراهم می کند:

(i) اگر m = n باشد ، هویت کاتالان (3. 5) به دست می آید.

(ب) اگر m = n و در هویت (3. 8) ، هویت کاسینی (5. 1) به دست می آید.

(iii) اگر n = m ، m = و در هویت (3. 8) ، هویت d’ocagne (3. 6) به دست می آید.

4- هویت تعیین کننده

یک سنت طولانی در استفاده از ماتریس و عوامل تعیین کننده برای مطالعه شماره های فیبوناچی وجود دارد. T. Koshy [10] دو فصل در مورد استفاده از ماتریس و عوامل تعیین کننده را توضیح داد. در این بخش ، برخی از هویت های تعیین کننده ارائه شده است.

قضیه (4. 1). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 1)

درخواست ، ما دریافت می کنیم

از آنجا که دو ستون یکسان هستند ، ما نتیجه لازم را بدست آوردیم.

قضیه (4. 2). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 2)

با استفاده و گسترش در امتداد ردیف اول ، نتیجه لازم را بدست آوردیم.

قضیه (4. 3). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 3)

درخواست ، ما دریافت می کنیم

مشترک گرفتن از ردیف سوم ،

از آنجا که دو ردیف یکسان هستند ، بنابراین نتیجه مورد نیاز را بدست می آوریم.

قضیه (4. 4). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 4)

درخواست ، ما دریافت می کنیم

با استفاده و گسترش در طول ردیف اول ، نتیجه لازم را بدست آوردیم.

قضیه (4. 5). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 5)

به ترتیب مشترک ، می گیریم

با استفاده از مشترک و گسترش در امتداد ردیف اول ، نتیجه لازم را بدست آوردیم.

قضیه (4. 6). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 6)

فرض کنید b n = a ، b n+1 = b ، b n+2 = a+b و f n = p ، f n+1 = Q ، f n+2 = p+q.

اکنون مقادیر فوق را در تعیین کننده جایگزین می کنیم.

با جایگزین کردن مقادیر A ، B ، P و Q ، ما به نتیجه نیاز داریم.

به همین ترتیب هویت های زیر می توانند بدست آورند:

قضیه (4. 8). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 8)

قضیه (4. 9). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 9)

قضیه 4. (10). برای هر عدد صحیح ، آن را ثابت کنید

(4. 10)

5. نتیجه گیری ها

در این مقاله ، توالی فیبوناچی-لوکاس عمومی معرفی شده است. برخی از هویت های استاندارد دنباله فیبوناچی-لوکاس تعمیم یافته با استفاده از عملکرد تولید و فرمول Binet بدست آمده و مشتق شده اند. همچنین برخی از هویت های تعیین کننده ایجاد و مشتق شده اند.