مطالعات در مورد تعداد تولید مثل اساسی در مدلهای اپیدمی تصادفی با آشفتگی تصادفی

آخرین مطالب

امکانات وب

مطالعات در مورد تعداد تولید مثل اساسی در مدلهای اپیدمی تصادفی با آشفتگی تصادفی

در این مقاله ، ما در مورد تعداد تولید مثل اساسی مدل های اپیدمی تصادفی با آشفتگی های تصادفی بحث می کنیم. ما با استفاده از انتگرال یک عملکرد یا عملکرد بقا ، تعداد تولید مثل اصلی را در مدل های اپیدمی تعریف می کنیم. ما سیستم های معادلات دیفرانسیل تصادفی را برای مدل های SIR ، SIS و SEIR و تجزیه و تحلیل پایداری آنها مطالعه می کنیم. برخی از نتایج در مورد مدل های اپیدمی قطعی نیز به دست می آید. ما شرایط عددی را ارائه می دهیم که نقطه تعادل عاری از بیماری از نظر بدون علامت پایدار است.

1. معرفی

همه گیر می تواند باعث افزایش ناگهانی و شدید میزان مرگ و میر و عوارض و همچنین اختلالات اجتماعی ، سیاسی و اقتصادی شود. بشریت می تواند خود را در برابر این نوع مشکلات در زمینه پیشرفت در علم و با متخصصان پزشکی ، ایمونولوژی ، ژنتیک ، اپیدمیولوژی و آماری دفاع کند. یافتن اقدامات لازم برای تضمین دسترسی افراد به مراکز پزشکی موضوعی مورد توجه است. کنترل منابع و بردارهای مسری کارآمدترین روش برای کندی همه گیر است. کاهش نرخ عفونت نه تنها بهزیستی بلکه کاهش میزان مرگ و میر را نیز تضمین می کند. دانستن مکانیسم های شیوع ، عفونت و مرگ ، الگوبرداری از آنها از نظر ریاضی و پیش بینی جمعیت در معرض خطر ، سودمندترین ابزارهای دولتی برای تضمین حق زندگی است. از مدل های اپیدمی به طور گسترده ای برای تجزیه و تحلیل پویایی جمعیت تحت بیماری های عفونی استفاده می شود. آنها برای مطالعه رشد اپیدمی و پویایی انتقال یک بیماری بسیار مهم هستند. مدلهای ریاضی نقش مهمی در پیش بینی ، ارزیابی و کنترل شیوع احتمالی دارند. یکی از اولین مدل های اپیدمی توسعه یافته ، مدل SIR است که در سال 1927 توسط Kermack و McKendrick (نگاه کنید به [14]) بر اساس سیستم دیفرانسیل معمولی ارائه شده توسط معادله (1. 1). مدل SIR یک مدل محفظه ای است که در آن جمعیت به انواع مختلفی از افراد تقسیم می شود: مستعد ( (S (t) )) ، آلوده ( (i (t) )) و بازیابی شده ( (( (( (( (i (t) ))r (t) )) به ترتیب ، در زمان t. مدل های اپیدمی پویا انتقال به ما کمک می کند تا درک کنیم که خطر عفونت در افراد مستعد بستگی به شیوع افراد عفونی دارد. یک فرد آلوده پس از دریافت درمان بهبود می یابد. اکنون سیستم معادلات دیفرانسیل را می دهیم:

جایی که β نشان دهنده میزان عفونت است، نرخ بهبودی عفونت γ است و N اندازه کل جمعیت است به طوری که (S(t)+I(t)+R(t)=N extt). با این حال، این مدل های قبلی امکان مهاجرت و مهاجرت را در نظر نمی گیرند. ما مدلی را با جمعیت شناسی در نظر می گیریم که μ برای آن به عنوان نرخ مهاجرت و η نرخ مهاجرت در نظر گرفته می شود. گاهی اوقات نرخ μ به عنوان میزان مرگ و میر و η نرخ تولد در فرآیندهای انشعاب استاندارد در نظر گرفته می شود.

توجه می کنیم که اگر (eta = mu ) جمعیت ثابت خواهد بود. در مدل فوق، ما فرض می کنیم که بیماری که عفونت برای آن مصونیت ایجاد نمی کند، جمعیت نوع SIS (مدل مستعد(S) عفونت(I) مستعد(S)) نامیده می شود زیرا افراد زمانی که افراد به طبقه مستعد برمی گردند. بهبودی از عفونت هاچنین عفونت هایی حالت بهبودی ندارند و افراد پس از بهبودی مجدداً مستعد ابتلا می شوند. اکنون ما جمعیت نوع SEIR را توصیف می کنیم (مستعد (S) در معرض (E) عفونت (I) بهبود یافته (R))، و سیستم معادلات دیفرانسیل برای مدل SEIR (با جمعیت شناسی) به صورت زیر ارائه می شود:

$$x08egin x08egin &frac=eta N-x08eta I(t)S(t)- mu S ( t ), \ &frac=x08eta I(t)S(t)-upsilon E ( t ) -mu E ( t ), \ &frac=upsilon E ( t ) -gamma I(t)-mu I ( t ), \ &frac=gamma I(t)-mu R ( t ),end end$$

که در آن میانگین زمان انکوباسیون (1/ upsilon) زمانی است که عامل عفونی برای تبدیل فرد در معرض تماس به فرد آلوده زمان می برد. توجه داشته باشید که در زمان کمون، فرد در معرض بیماری نمی تواند بیماری را منتقل کند. مدل های فوق قطعی هستند. با این حال، اپیدمی ها در چرخه های شیوع به دلیل تغییرات در میزان عفونت عمدتاً به عوامل خارجی خاص مانند فعالیت های اجتماعی افراد و نوسانات آب و هوایی مربوط می شوند (نگاه کنید به [24]). در واقع، تغییرات آب و هوایی می تواند بر میزان آلودگی ((x08eta ) ) تأثیر بگذارد. مدل های اپیدمی با اغتشاش تصادفی به طور گسترده برای تطبیق تصادفی بودن در مدل مورد مطالعه قرار گرفته اند، برای مثال [3، 7، 13، 20، 27] را ببینید. اخیراً شواهدی از مکانیسمی گزارش شده است که تغییرات آب و هوایی می تواند نقش مستقیمی در پیدایش COVID-19 داشته باشد [2].

در این مقاله ، ما تعداد تولید مثل اساسی را در مدل های اپیدمی با آشفتگی تصادفی بررسی می کنیم. ما با استفاده از عملکرد بقا ، تعداد تولید مثل اصلی را در مدلهای اپیدمی تعریف می کنیم و شرایط عددی را نشان می دهیم که تحت آن نقطه تعادل بدون بیماری از نظر بدون علامت پایدار است. این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است: در بخش. 2 ، ما چارچوب و مفاهیم اساسی مدل های تصادفی را با آشفتگی تصادفی معرفی می کنیم و شرایط پایداری مدل های اپیدمی SIS ، SIR و SEIR را تعیین می کنیم. بخش 3 به نتایج اصلی نشان داده شده با نتایج شبیه سازی برای تعداد تولید مثل اساسی برای مدل های SIR ، SIS و SEIR اختصاص یافته است. بخش 4 در مورد متغیر تولید مثل اساسی با شرایط آشفتگی مضاعف برای نرخ انتقال بحث می کند. و سرانجام ، فرقه. 5 مقاله را با کارهای آینده نتیجه می گیرد.

2 مدل تصادفی

در این بخش ، مدل سازی تصادفی اپیدمی با آشفتگی های تصادفی را معرفی می کنیم. در مدل ما ، ما تغییرات محیطی و رفتارهای اجتماعی را در میزان عفونت در نظر می گیریم [9]. در این مقاله ، ما فرض می کنیم (( omega ، im ، <Im _>_ Mathbb ،) ) یک فضای احتمال کامل با فیلتراسیون (<Im _>_) رضایت از شرایط معمول. ما تعریف می کنیم

$$x08egin widetilde:=x08eta +sigma B ( t ), end$$

جایی که β و σ ثابت مثبت هستند ، و (_) حرکت استاندارد براون با (b (t) -b (t) sim mathbf (0 ، t-t) ) است. توجه داشته باشیم که β ثابت میانگین میزان عفونت قطعی است و σ پارامتر آشفتگی است که تغییرات در میزان عفونت را با توجه به β تغییر می دهد. اکنون آشفتگی های تصادفی (1. 1) را در سیستم معادلات دیفرانسیل تصادفی (SDE) برای مدل SIR معرفی می کنیم. SDE حاصل توسط

$$x08egin extstylex08egin dS(t)= ( eta N-x08eta I(t)S(t)-mu S ( t ) ) ,dt-sigma I(t)S(t),dB ( t ), \ dI(t)= ( x08eta I(t)S(t)-gamma I(t)-mu I ( t ) ) ,dt+sigma I(t)S(t),dB ( t ), \ dR(t)=gamma I(t)-mu R ( t ).enddisplaystyle end$$

استدلال به طور مشابه مانند (2. 2) ، اکنون سیستم زیر معادلات دیفرانسیل تصادفی را برای مدل SEIR با آشفتگی های تصادفی پیشنهاد می کنیم:

$$x08egin extstylex08egin dS(t)= ( eta N -x08eta I(t)S(t)-mu S ( t ) ) ,dt-sigma I(t) S(t),dB ( t ), \ dE(t)= ( x08eta I(t) S(t)-upsilon E ( t ) -mu E ( t ) ) ,dt+sigma I(t) S(t),dB ( t ), \ dI(t)= ( upsilon E ( t ) -gamma I(t)-mu I ( t ) ) ,dt, \ dR(t)= ( gamma I(t)-mu R ( t ) ) ,dt. enddisplaystyle end$$

شماره تولید مثل اصلی (R_ ) به عنوان تعداد مورد انتظار موارد ثانویه تولید شده توسط یک عفونت واحد در یک جمعیت کاملاً مستعد تعریف می شود [4 ، 6 ، 10]. در بسیاری از تعاریف از تعداد تولید مثل اساسی که ارائه شده است ، چارچوب مفهومی اساسی مشابه است. این نیز نسبت اصلی تولید مثل نامیده می شود ، که یک متریک اپیدمیولوژیک است که برای توصیف انتقال یک بیماری عفونی استفاده می شود. از نظر ریاضی ، شماره تولید مثل اساسی به شرح زیر است [11].

تعداد تولید مثل اساسی یک مدل اپیدمی (R_ ) توسط

$$x08egin R_:= int_^ <+infty>b ( a ) F ( a ) ,da ext end$$

جایی که (b (a) ) میانگین تعداد افراد آلوده جدید (در یک جمعیت کاملاً مستعد) توسط یک فرد آلوده در صورت عفونی در تمام مدت بین 0 تا a است. (f (a) ) احتمال آلودگی مداوم فرد آلوده در بازه زمانی بین 0 تا a است. به این احتمال نیز احتمال بقا (یا عملکرد) نامیده می شود. توجه داشته باشید که در مورد مدل SEIR (b (a) = frac<mu> upsilon beta n ) و (f (a) = e^). برای مدل SIR ، (b (a) = frac<mu> Beta n ) و (f (a) = e^). به این ترتیب ، تعداد اصلی تولید مثل برای مدل های SIR و SEIR به ترتیب ،

$$x08egin R_^<mathrm>= r_^<mathrm>= frac<mu> شکستن<( mu +gamma )> Quad Text Quad R_^<mathrm>= frac<mu> شکستن<upsilon x08eta N><( mu +upsilon ) ( mu +gamma )>. end$$
مثال را در پیوست A. 1 مشاهده کنید. شماره تولید مثل اساسی برای مدل SEIR با جمعیت شناسی ساخته شده است. اکنون ما در بخش زیر تعاریف اساسی و نتایج اولیه را به نفع خوانندگان ارائه می دهیم.
2. 1 مقدمات و تعاریف اساسی
در این بخش ، مفاهیم اساسی و چارچوب نظری مورد نیاز خود را در این مقاله معرفی می کنیم. تعریف زیر از نقطه تعادل ارائه شده است [12].
تعریف 2. 1
بگذارید یک سیستم دیفرانسیل معمولی توسط
$$x08egin dot ( t ) =f x08igl( X ( t ) x08igr)quad ext tgeq t_, end$$
با نماد ماتریس
$$x08egin x08egin dX_ ( t ) / dt \ vdots \ dX_ ( t ) / dtend = x08egin f_ ( X_ ( t ),ldots,X_ ( t ) ) \ vdots \ f_ ( X_ ( t ),ldots,X_ ( t ) )end, end$$
جایی که (f_: mathbb^ longrightarrow mathbb ) یک تابع محلی لیپسیتز برای همه (i = 1 ، ldots ، n ) است. x ∘ ∈ R n یک نقطه تعادل f (x ∘) = 0 n نامیده می شود ، که در آن ( mathbf_ ) یک ماتریس با اندازه (n بار 1 ) است.
بگذارید یک نقطه تعادل x ∘ ∈ R n از سیستم دیفرانسیل معمولی ( dot (t) = f (x (t)) ) باشد. اگر x ∘ با x ∘ ≠ x (t 0) متفاوت باشد ، می توان تعویض ξ (t) = x (t) - x ∘ بدست آوردن ξ ˙ (t) = f (ξ (t) + x ∘ را در نظر گرفت.) = F (x (t)). در این حالت ، ثبات با توجه به نقطه ( xi (t_) ) [12] و دلیل اینکه ثبات و پایداری بدون علامت برای نقطه (x (t_) ) تعریف شده است.
تعریف 2. 2
نقطه (x (t_) ) سیستم (2. 6) خوانده می شود
(i) Stable if and only if, for all (epsilon>0) , there exists (delta>0 ) به گونه ای که
$$x08egin x08iglVert X ( t_ ) x08igrVert <delta quad extx08iglVert X ( t ) x08igrVert <epsilon extt>t_; end$$
(ii) Asymptotically stable if and only if it is stable and can be chosen (delta>0 ) به گونه ای که
$$x08egin x08iglVert X ( t_ ) x08igrVert <delta quad extlim_ x08iglVert X ( t_ ) x08igrVert =0. end$$
به طور شهودی ، (x (t_) ) اگر راه حل هایی که به اندازه کافی نزدیک به مسیری که در (x (t_) ) شروع می شود ، پایدار است ( ( vert x (t_) vert به اندازه کافی نزدیک به مسیر برایهر (t geq t_ ) ( ( vert x (t) vert<epsilon ) ), that is, if a solution starts near to (X ( t_) ) , then it will never move away enough from the path (X ( t )) . The point is asymptotically stable if the solutions which start near to the path with origin in (X ( t_ ) ) converge to that path (see [12]).
اگر تعداد تولید مثل کمتر از وحدت باشد ، نقطه تعادل عاری از بیماری از نظر محلی بدون علامت پایدار خواهد بود ، در حالی که اگر چنین عددی بیش از وحدت باشد ، نقطه تعادل بومی به صورت محلی پایدار است. در مدلهای اپیدمی قطعی ، اگر تعداد تولید مثل کمتر از وحدت باشد ، نقاط تعادل عاری از بیماری از نظر محلی بدون علامت پایدار هستند. در مقابل ، اگر تعداد تولید مثل از وحدت فراتر رود ، نقطه تعادل بومی از نظر محلی بدون علامت پایدار است (نگاه کنید به [23]). برای مدل SEIR ، فرض کنید (e (t) = 0 ) و (i (t) = 0 ) برای هر t ، و برای مدل های sis و sir ، (i (t) = 0 ). برای مورد قطعی ، نقاط تعادل عاری از بیماری مدل های SIR و SEIR با جمعیت شناسی ( frac<mu>n ، 0،0) ) و (( frac<mu>به ترتیب n ، 0،0،0) ). تحت مدل SIR ما این را داریم اگر (r^<mathrm>_ <1) , then ((frac <mu>n ، 0 ، 0) ) بدون علامت پایدار است. توجه داشته باشید که یک وضعیت عددی در شماره تولید مثل اساسی برای ثبات مدل SIR وجود دارد. از این رو ، ما شرایط عددی را ایجاد می کنیم که برخی از مدل های اپیدمی قطعی در نقاط تعادل بدون بیماری به صورت مجانبی پایدار هستند (برای اطلاعات بیشتر ، به پیوست B مراجعه کنید). اکنون ما به طور خلاصه در مورد تجزیه و تحلیل پایداری برای معادلات دیفرانسیل تصادفی در مدل های اپیدمی با آشفتگی تصادفی بحث می کنیم. برای اطلاعات بیشتر ، به خوانندگان توصیه می کنیم به [15] و [18] مراجعه کنند.
تعریف 2. 3
بگذارید سیستم معادلات دیفرانسیل تصادفی به شرح زیر باشد:
$$x08egin x08egin &dX ( t ) =f x08igl( t,X ( t ) x08igr) ,dt+g x08igl( t,X ( t ) x08igr) ,dB ( t ),quad tgeq 0, \ &X ( 0 ) =x_,end end$$
که در آن (f ، g ) به صورت محلی توابع Lipschitz از ( Mathbb^) تا ( Mathbb ) هستند. ما می گوییم که x ∘ = x (t 1) ∈ R n برای برخی از (t_ geq 0 ) یک نقطه تعادل سیستم در صورت نگه داشتن f (t 1 ، x ∘) = 0 است.
اگر x ∘ ≠ x (0) یک نقطه تعادل باشد و جایگزین ξ (t) = x (t) - x ∘ ، ما سیستم را داریم
d ξ (t) = f (t ، ξ (t) + x ∘) d t + g (t ، ξ (t) + x ∘) d b (t) ،
( xi (0) ) یک نقطه تعادل است. با استفاده از این ، ثبات و ثبات بدون علامت به شرح زیر تعریف می شود.
تعریف 2. 4
بگذارید سیستمی باشد که توسط (2. 7) تعریف شده باشد ، که برای آن (x (0) ) یک نقطه تعادل است. ما می گوییم که (x (0) ) است
(i) Stable (in probability) if and only if, for all (epsilon>0) , there exists (delta>0 ) به گونه ای که اگر ( vert x (0) vert $$x08egin P Bigl( sup_ x08iglVert X ( t ) x08igrVert geq epsilon Bigr) =0; end$$
(ii) Asymptotically stable if it is stable in probability, and there exists (delta>0 ) به گونه ای که اگر ( vert x (0) vert $$x08egin P Bigl( lim_X ( t ) =0 Bigr) =1. end$$
تعریف 2. 5
اجازه دهید (_) یک فرآیند Itô باشد و (H (t ، x) in c^ ([0 ،+ infty) times mathbb) ). ما اپراتور دیفرانسیل را برای H به شرح زیر تعریف می کنیم:
برای مشاهده ثبات در مدل های SIS و SEIR با آشفتگی تصادفی ، با استفاده از توابع کافی لیاپونوف ، اکنون قضیه زیر را که در [22] بدون اثبات ارائه شده است بیان می کنیم.
قضیه 2. 1
بگذارید (v (x (t)) ) تعریف شده در (v: mathbb^ longrightarrow mathbb ) یک عملکرد لیاپونف باشد.
(i) اگر ( mathcal (v (x (t))) leq 0 ) برای همه (t geq 0 ) ، سپس (x (0) ) از نظر احتمال پایدار است.
ما قضیه زیر را با ساختن یک عملکرد لیاپونف اثبات می کنیم و شرایط کافی را ارائه می دهیم که در آن نقطه (( frac<mu>n ، 0،0،0) ) در مدل SEIR با آشفتگی های تصادفی بدون علامت پایدار است. در [17] نویسنده از یک رویکرد مشابه برای ساخت یک تابع Lyapunov استفاده کرده است تا ثابت کند که حالت تعادل بومی در سطح جهانی بدون علامت پایدار است.
قضیه 2. 2
اگر پارامترهای مدل SEIR با آشفتگی های تصادفی موارد زیر را برآورده می کنند:
$$x08egin 0<upsilon x08eta frac<mu><( gamma +mu ) ( upsilon + mu ) - fracupsilon ^eta ^N^><2mu ^> end$$
and (upsilon +mu>1 ) ، سپس نقطه (( frac<mu>n ، 0،0،0) ) بدون علامت پایدار است.
اثبات
اجازه دهید عملکرد توسط
$$x08egin W ( S,E,I,R ):=lambda _ x08iggl(frac <mu>N-S x08iggr) ^+lambda _ x08iggl( upsilon EI+upsilon ^ fracE^+ ( mu +upsilon ) fracI^ x08iggr) + fraclambda _R^, end$$
where (lambda _,lambda _,lambda _>0) are adequately chosen. As (V (S,E,I,R )>0) for all (t>0 ) و (v ( frac<mu>n ، 0،0،0) = 0 ). علاوه بر این ، مشتقات جزئی V مداوم هستند ، بنابراین V یک عملکرد Lyapunov است.
ما در فرم ماتریس (dx (t) = f (t ، x (t)) ، dt+g (t ، x (t)) ، db (t) ) بازنویسی می کنیم ، با (x (t (t)): = (s (t) ، e (t) ، i (t) ، r (t)) ) و f ، g داده شده توسط
$$x08egin &f^= x08igl[ f x08igl( t,x ( t ) x08igr) x08igr] ^:= x08igl( eta N -x08eta SI-mu S, x08eta SI- ( upsilon +mu ) E, upsilon E- ( mu +gamma ) I, gamma I-mu R x08igr) quad ext\ & g^= x08igl[ g x08igl( t,x ( t ) x08igr) x08igr] ^:= x08egin -sigma S ( t ) I ( t ), & sigma S ( t ) I ( t ), & 0, & 0end. end$$
برای محاسبه ( mathcal (v (t)) ) ، ما داریم
$$x08egin f^ frac<partial W> <partial x>= <>& شروع eta n- beta si- mu s ، & beta si- ( upsilon + mu) e ، & upsilon e- ( mu + gamma) i ، & gamma i- muR پایان \ =<>&<>2 lambda _ biggl ( frac<mu>n-s biggr) ( eta n- beta is- mu s) + lambda _ bigl ( bigl [ upsilon ^ beta s- upsilon ( gamma + mu) bigr] ei \ & & & & & bigr]<> + x08igl( upsilon ^-upsilon ^ ( upsilon + mu ) x08igr) E^+ x08igl[ upsilon x08eta S- ( gamma + mu ) ( mu + upsilon ) x08igr] I^ x08igr) + lambda _ x08igl( gamma RI-mu R^ x08igr), end$$
$$x08egin A= x08egin -2lambda _ ( frac <mu>N-S ), & lambda _ ( upsilon ^E+upsilon I ), & lambda _ ( upsilon E+ ( mu +upsilon ) I ), & lambda _Rend ^. end$$
از طرف دیگر ، هنگامی که ( eta geq mu ) ما داریم
$$x08egin fracg^ frac<partial V><partial x>g & = frac sigma ^ s ^ i ^ star t-1 ، & 1 ، & 0 end start 2 lambda _ & 0 & 0 & 0 \ 0 & lambda _ upsilon ^ & lambda _ upsilon & 0 \ 0 & lambda _ upsilon & lambda _ ( mu + upsilon) & 0 \ 0 & 0 & 0 & 2 lambda _ end شرو ع-1 \ 1\ 0 \ 0 end \ & = frac sigma ^s ^i ^ star t-2 lambda _ ، & lambda _ upsilon ^، & lambda _ upsilon ، & 0 end شروع -1 ، & 1 ، & 0 ، & 0 end ^\ & = lambda _ sigma ^s ^i ^+ frac lambda _ upsilon ^ sigma ^s ^i ^ leq lambda _ lambda _ lamambda _ leq leq leq leq leq leq lamampdasigma ^s ^i ^+ lambda _ frac upsilon ^ sigma ^ frac<eta ^N^> <mu ^>I^ , end$$
$$x08egin &a(t)= 2 x08iggl(frac<mu> n-s biggr) ( - eta n + beta is + mu s) + sigma ^s ^i ^، \ & b (t) = biggl ( biggl ( upsilon ^ beta frac<mu>n- upsilon ( upsilon + mu) biggr) + bigl ( upsilon ^- upsilon ^ ( upsilon + mu) bigr) \ & phantom<>+ biggl ( upsilon beta frac<mu>n- ( mu + gamma) ( mu + upsilon) + frac<2> upsilon ^ sigma ^ frac<eta ^><mu ^>n^ biggr) biggr) inf _ bigl , \ &c ( t ) = gamma IR-mu R^. end$$
(i) اثبات قضیه B. 2 را ببینید ، واضح است که ( upsilon ^ beta frac<mu>n- upsilon ( upsilon + mu) + upsilon ^- upsilon ^ ( upsilon + mu)<0) .
انتخاب کافی ( lambda _ ) ، ( lambda _ ) و ( lambda _ ) ، برای هر مورد ، این مورد را دارد
$$x08egin mathcal x08igl( W ( t ) x08igr) = leq lambda _a(t)+ lambda _b(t)+lambda _c(t) <0 end$$
for all (t>t_ ) ، نشان می دهد که نقطه (( frac<mu>n ، 0،0،0) ) بدون علامت پایدار است.□
قضیه 2. 3
اگر پارامترهای مدل SIS با آشفتگی تصادفی آن را برآورده می کنند
$$x08egin 0<x08eta frac<mu><gamma +mu - fraceta ^N^><2mu ^>, end$$
سپس نقطه (( frac<mu>n ، 0) ) بدون علامت پایدار است.
اثبات
اثبات مشابه قضیه قبلی است. v تعریف شده توسط
$$x08egin V x08igl( S ( t ),I ( t ) x08igr):=lambda _ x08iggl( frac<mu>N-S ( t ) x08iggr) ^+ fraclambda _I^ ( t ), end$$
where (lambda _,lambda _>0 ) ثابت های مثبت به اندازه کافی انتخاب شده اند.□
از لحاظ تئوریکی ، با نابرابری (2. 10) نشان داده شده است که (قضیه 2. 3) اگر
$$x08egin x08eta frac <mu (gamma +mu )>+ fraceta ^N^> <2mu ^(gamma +mu )> <1, end$$
سپس نقطه (( frac<mu>n ، 0) ) بدون علامت پایدار است.
طبق قضیه 2. 2 ، آن ( frac<mu>N, 0, 0, 0 ) ) in the SEIR model with random perturbations is asymptotically stable, and it is necessary that (mu + upsilon>1 ) و نابرابری (2. 9) را نگه دارید و می توان به صورت آن نوشت
$$x08egin upsilon x08eta frac <mu (gamma +mu ) (upsilon +mu )>+ frac eta ^ upsilon ^ N^> <2mu ^(gamma +mu ) (upsilon +mu )> <1. end$$
3 نتایج شبیه سازی برای پایداری مدل های تصادفی
در این بخش ، ما در مورد نتایج شبیه سازی شماره های تولید مثل (R^) بحث می کنیم<mathrm>_ ، r^<mathrm>_ ) ، و (r^<mathrm>_ ) به ترتیب برای مدل های SIR ، SIS و SEIR با آشفتگی تصادفی. هدف ما پیدا کردن کوچکترین مقدار (r^<mathrm>_ ) به گونه ای که (r^<mathrm>_ <mu>n ، 0) ) (طبق قضیه 2. 3). به همین ترتیب ، ما کوچکترین مقدار را جستجو می کنیم (r^<mathrm>_ ) به گونه ای که (r^<mathrm>_ <mu>n ، 0) ) در مدل SEIR با آشفتگی های تصادفی بدون علامت پایدار است (طبق قضیه 2. 2). ما اکنون از طریق شبیه سازی ها کوچکترین مقادیر (r^) را مشاهده می کنیم<mathrm>_ ) و (r^<mathrm>_ ) که ثبات بدون علامت در آن وجود دارد.
ما اکنون روش Eule r-Maruyama را برای شبیه سازی مدل های SIS و SEIR با آشفتگی های تصادفی اعمال می کنیم [21]. معادلات تقریبی مدل ها توسط
$$x08egin & extstylex08egin S ( t_ ) = S ( t_ ) + [ eta N-x08eta S ( t_ ) I ( t_ ) -mu S ( t_ ) + gamma I ( t_ ) ] ( t_-t_ ) \ phantom ~~<>-sigma S ( t_ ) I ( t_ ) ( B ( t_ ) -B ( t_ ) ), \ I ( t_ ) =I ( t_ ) + [ upsilon E ( t_ ) - ( mu +gamma ) I ( t_ ) ] ( t_-t_ ), enddisplaystyle end$$~~

$$x08egin & extstylex08egin S ( t_ ) = S ( t_ ) + [ eta N-x08eta S ( t_ ) I ( t_ ) -mu S ( t_ ) ] ( t_-t_ )\ phantom <>- sigma s (t_) i (t_) (b (t_) -b (t_)) ، \ e (t_) = e (t_) + [ beta s (t_) i (t_) -( upsilon+ mu) e (t_)] (t_-t_) \ phantom<>+sigma S ( t_ ) I ( t_ ) ( B ( t_ ) -B ( t_ ) ),\ I ( t_ ) =I ( t_ ) + [ upsilon E ( t_ ) - ( mu +gamma ) I ( t_ ) ] ( t_-t_ ),\ R ( t_ ) =R ( t_ ) + [ gamma I ( t_ ) -mu R ( t_ ) ] ( t_-t_ ).enddisplaystyle end$$

راهنمای تجارت فارکس...

ما را در سایت راهنمای تجارت فارکس دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : نسیم خاکسار بازدید : <-PostHit-> تاريخ : سه شنبه 19 ارديبهشت 1402 ساعت: 23:37

مطالعات در مورد تعداد تولید مثل اساسی در مدلهای اپیدمی تصادفی با آشفتگی تصادفی

آخرین مطالب

امکانات وب