قیمتگذاری گزینه بازگشتی با هزینههای تراکنش متناسب ثابت تحت حرکت براونی کسری

این یک مقاله با دسترسی آزاد است که تحت مجوز Creative Commons Attribution توزیع شده است که استفاده، توزیع و تکثیر نامحدود در هر رسانه را مجاز می کند، مشروط بر اینکه اثر اصلی به درستی ذکر شده باشد.

خلاصه

مشکل قیمت گذاری گزینه بازگشت به عقب با نسبت ثابتی از هزینه های تراکنش زمانی بررسی می شود که قیمت دارایی اساسی از یک فرآیند حرکت براونی کسری پیروی کند. ابتدا، با استفاده از روش پوشش ریسک لیلند، یک معادله دیفرانسیل جزئی برآورده شده با مقدار گزینه نگاه به عقب به دست می آید. سپس با ساخت فرمت کرانک-نیکولسون جواب عددی آن را بدست می آوریم. در نهایت، کارایی فرم پیشنهادی از طریق یک مثال عددی تایید می شود. در همین حال، تأثیر نرخ هزینه تراکنش و نوسانات بر ارزش گزینه بازگشتی مورد بحث قرار گرفته است.

1. معرفی

در سال 1985، مشکلات قیمت گذاری اختیار معامله و تکرار با هزینه های مبادله ابتدا توسط لیلند [1] مورد بررسی قرار گرفت. به دلیل واریانس بی نهایت فرآیند حرکت هندسی براونی، هزینه های تراکنش بی نهایت می شود، بنابراین استدلال دلخواه بلک شولز برای گزینه های قیمت دیگر قابل استفاده نیست. بارلز و سونر [2] تفاوت بین حداکثر مطلوبیت از ثروت نهایی را زمانی که تعهد اختیاری وجود ندارد و زمانی که چنین تعهدی وجود دارد در نظر گرفتند. آنها معادله غیرخطی بلک شولز را با استفاده از تئوری بیشینه سازی مطلوبیت به دست آوردند. با در نظر گرفتن هزینه های مبادله و ریسک ناشی از پرتفوی بی ثبات، در سال 2005، Jandačka و Ševčovič [3] مدل پیچیده تری را دریافت کردند. تأثیر پرداخت هزینه های معامله و تغییر ناپیوسته قیمت سهام بر ارزش اختیار معامله توسط آمستر و همکاران مورد مطالعه قرار گرفت.[4]. تحت یک فرآیند نوسانات تصادفی، ماریان و همکاران.[5] مشکل قیمت گذاری اختیار معامله را با هزینه تراکنش بررسی کرد و مدل قیمت گذاری را استخراج کرد. در همین حال آنها با استفاده از روش تفاضل محدود به جوابهای عددی دست یافتند.

به عنوان نوعی گزینه های عجیب و غریب ، دارنده گزینه Lookback می تواند به روند تکامل دارایی های اساسی در طول عمر گزینه در بلوغ نگاه کند. این یک نوع گزینه وابسته به مسیر است که در آن بازپرداخت بر اساس حداکثر یا حداقل قیمت دارایی زیرین در هنگام رانش گزینه است. در سال 1979 ، فرمول قیمت گذاری گزینه Lookback ابتدا توسط گلدمن و همکاران ارائه شد.[6]سپس فرمول قیمت گذاری توسط Conze و Viswanathan گسترش یافت [7]. آنها فرمول های صریح از گزینه های مختلف جستجو در اروپا به دست آوردند و همچنین با استفاده از روش احتمال ، نتایج را برای همتایان آمریکایی ارائه دادند. با قیمت دارایی زیربنایی به دنبال حرکت هندسی براونین ، بیان تحلیلی از ارزش گزینه های گسسته نگاه توسط هینن و کت ارائه شد [8]. بسیاری از مطالعات تجربی نشان داده اند که توزیع قیمت دارایی کاملاً ناهمواری نیست ، و عملکرد چگالی احتمال عملکرد لگاریتم آن تمایل دارد ویژگی "چربی چربی" را داشته باشد ، بنابراین فرایندهای حرکت هندسی براونیایی با محیط واقعی مطابقت ندارند. برای خصوصیات خود شنی بودن ، دم چربی و وابستگی طولانی مدت ، حرکت کسری قهوه ای کسری (FBM) به ابزاری مؤثر برای توصیف روند قیمت سهام به جای حرکت هندسی براونین تبدیل می شود. FBM نه یک فرآیند مارکوف و نه یک semimartingale است ، بنابراین نظریه تحلیل تصادفی برای semimartingale نمی تواند مستقیماً اعمال شود. در بازارهای ناقص ، فرصت های داوری وجود خواهد داشت. تعداد قابل توجهی از استراتژی های داوری برای FBM توسط راجرز [9] ، شیریاف [10] ، سالوپک [11] و چریدیتو [12] ارائه شده است. در سال 2012 ، Gu et al.[13] با مشکل قیمت گذاری گزینه های زمان گسسته در حضور هزینه های معاملات توسط یک مدل حرکت کوتاه مدت هندسی تغییر یافته ، به مشکل رسیدگی کرد. آنها از طریق یک استدلال میانگین دلتایی که از خود تأمین می کنند ، فرمول قیمت گذاری را برای گزینه تماس اروپایی در تنظیم زمان گسسته بدست آوردند. فنگ [14] در مورد گزینه Lookback تحت مدل FBM بحث کرد. آنها راه حل های صریح فرمول قیمت گذاری گزینه را به دست آوردند.

در این مقاله، ابتدا مدل دینامیک قیمت را تحت فرآیند fBm ارائه خواهیم کرد. سپس یک مدل قیمت گذاری ریاضی غیرخطی سه بعدی برای ارزش اختیار معامله بازگشتی با هزینه های معاملات ثابت ایجاد می شود. ما آن را از طریق جایگزینی متغیر به یک مدل دو بعدی کاهش دادیم. اما مدل کاهش یافته هنوز غیرخطی است، بنابراین بدست آوردن جواب تحلیلی آسان نیست. بنابراین ما با ساختن یک طرح عددی کرانک-نیکولسون برای مدل تبدیل شده، جواب عددی آن را به دست می آوریم. در نهایت، ما اثربخشی طرح عددی و تأثیر پارامترها بر ارزش گزینه قرار داده شده را تحلیل می کنیم.

2. مدل دینامیک

تعریف 1.-

فرض کنید H ثابت متعلق به (0, 1) باشد. یک حرکت براونی کسری (B H (t))_{t ≥0}از شاخص هرست H یک فرآیند گاوسی پیوسته و متمرکز با تابع کوواریانس است

E [B H (t) B H (s)] = ½ (t 2 H + s 2 H - | t - s | 2 H).

برای H = 0. 5، fBm یک حرکت استاندارد براونی است. با تعریف 1 دریافتیم که یک fBm BH (t) استاندارد دارای خواص زیر است.

fBm وابستگی طولانی مدت به H∈ (0. 5،1) دارد و برای H∈ (0. 0. 5) ضد پایداری است. برای H ≠ 0. 5، نه یک فرآیند مارکوف است و نه نیمه مارتینگاله، بنابراین حساب کلاسیک Itô را نمی توان برای تعریف یک حساب کاملاً تصادفی برای fBm استفاده کرد. Lin [15] و Decreusefond و üstünel [16] محاسبات تصادفی تغییرات را تحت مدل fBm توسعه دادند، اما Shiryaev [10] بررسی کرد که شانس آربیتراژ در بازار وجود دارد. هو و اوکسندال [17] حساب کسری Itô را بر اساس ادغام Wick که توسط fBm هدایت می شود ارائه کردند. بندر [18] فرمول کسری Itô را با این نوع حساب ساخته است. برای جزئیات بیشتر در مورد fBm، خوانندگان علاقه مند می توانند به Hu و Peng [19] مراجعه کنند.

یک بازار مالی با دو اوراق بهادار اولیه، یعنی دارایی پرخطر S را در نظر بگیرید_تیو اوراق قرضه بدون ریسک B_تی. ما به فرضیات زیر نیاز خواهیم داشت.

• (ط) معاملات اوراق بهادار به طور مستمر با مجاز فروش کوتاه انجام می شود.
• (ii) فرض کنید v_تیسهام سهام معامله شده خریداری می شود (v_تی>0) و فروخته شد (v_تی<0) at the price S _تی. سپس نسبتی از هزینه تراکنش توسط κ | داده می شودv_تی|اس_تی in either buying or selling, where κ>0 نرخ هزینه تراکنش ثابت است.
• (iii) هیچ فرصت آربیتراژی وجود ندارد و نرخ مورد انتظار پرتفوی، نرخ بهره بدون ریسک r است که r یک ثابت است.
• (iv) پورتفولیو در هر بازه زمانی δt تجدید نظر می شود، جایی که δt یک مرحله زمانی محدود و ثابت است.

فرآیند قیمت B_تیبدهی های بدون ریسک در طول زمان به عنوان

ب_تی= E R T ، B₀= 1.

فرض کنید که روند قیمت s_تیاز سهم پرخطر به مرور زمان تکامل می یابد

d s_تی= R S_تیd t + σ s_تیd b_{سخنرانی}(T) ، S₀ = s>0 ،

جایی که σ نشانگر نوسانات قیمت سهام است.

3. ارزیابی گزینه Lookback با هزینه های معامله تحت FBM گزینه قرار داده شده است

در این بخش ، ما استراتژی Hedging Leland را اتخاذ می کنیم تا مدلی را برای قیمت گزینه های جستجو به دست آوریم. Lemma زیر قانون دیفرانسیل ITô کسری را ارائه می دهد که در استخراج فرمول ارزش زیادی دارد.

LEMMA 2 (نگاه کنید به [18]).-

معادله دیفرانسیل تصادفی را در نظر بگیرید

d s_تی= μ (t ، ω) d t + σ (t ، ω) d b_{سخنرانی}(T).

d f t ، s t = ∂ ∂ t f (t ، s t) d t + ∂ ∂ s t f (t ، s t) μ (t ، ω) d t + ∂ ∂ s t f t ، s t σ t ، ω d b h t + h∂ 2 ∂ S T 2 F T ، S T σ 2 T ، ω T 2 H - 1 D T.

گزینه Strike Strike از نوع اروپایی را در نظر بگیرید. اجازه دهید v_تی= v (s_تی، j_تی، t) که نشان دهنده مقدار گزینه در زمان T مربوط به بازپرداخت j است_تی= ماکس_{0≤ u ≤ t}u2061 s_تو، کجا s_تیبرآورده می شود (3). قضیه زیر مدل را برای ارزش گزینه Lookback با هزینه های معاملات ارائه می دهد.

قضیه 3.-

مدل قیمت گذاری برای ارزش Lookback گزینه با هزینه های معامله تحت فرآیند حرکت کسری Brownian ارائه شده است

∂ v t ∂ t + 1 2 σ~2 S T 2 ∂ 2 V T ∂ S T 2 + R S ∂ V T ∂ S T - R V T = 0 ، V S T ، J T ، T = J T - S T ، 0 ≤ S T ≤ J T<∞ , ∂ V t ∂ J t S t = J t = 0 . 0 ≤ t ≤ T ,

جایی که σ~2 = 2 σ 2 H T 2 H - 1 - L E H Sign u2061 (V S S) ، L E H = 2 / π (κ / σ) Δ T H - 1 ، Δt فاصله زمانی محافظت است.

اثبات -

برای خریدار گزینه ، یک نمونه کارها Hedging π_تیساخته شده است: یک موقعیت طولانی از گزینه Lookback Put گزینه و δ کوتاه_تیسهام سهام ؛سپس مقدار نمونه کارها در زمان فعلی t π است_تی= v_تی − Δ_تیحرف_تیبشرفرض کنید که تجارت فقط در بعضی مواقع T و T + ΔT اتفاق می افتد که ΔT نشان دهنده فاصله زمان محافظت است. سپس در یک بازه زمانی کوچک ΔT ، تغییر در ارزش نمونه کارها خواهد بود

δ π_تی= Δ v_تی − Δ_تیδ s_تی- κ |حرفهای_تی|حرف_تی.

معادله دیفرانسیل جزئی تصادفی (3) را می توان به عنوان نشان داد

δ s_تی= R S_تیΔ T + σ s_تیΔ b_{سخنرانی}(T).

با استفاده از فرم گسسته Lemma 2 ، می توانیم دریافت کنیم

δ v t = ∂ v t ∂ t + r s t ∂ v t ∂ s t + h σ 2 t 2 h - 1 s t 2 ∂ 2 v t ∂ s t 2 Δ t + σ s t ∂ v t t ∂ sT Δ B H T + ∂ V T ∂ J T Δ J T.

جایگزین (9) به (7) بازده

δ π t = ∂ v t ∂ t + h σ 2 s t 2 t 2 h - 1 ∂ 2 v t ∂ s t 2 Δ t + ∂ v t ∂ s t - Δ t δ s t + ∂ v t ∂ jt δ J T - κ V T S T.

به منظور از بین بردن خطر ، اجازه دهید δ_تی= ∂ v_تی/∂_تیبشربنابراین در همان بازه ΔT ، سهام معامله شده سهام است

V T = ∂ V ∂ S T (S T + Δ T ، J T + δ T ، T + δ T) - ∂ V ∂ S T (S T ، J T ، T) ≈ ∂ 2 V ∂ S T 2 (St ، j t ، t) σ s t Δ b h (t) + ∂ 2 v t ∂ s t ∂ j t Δ j t.

از آنجا_تیقابل تغییر نیست ، ما باید آن را تقریب دهیم