تعریف الگوهای تکراری و مداوم

نویسنده

1. پراما Subramanian پژوهش ریاضیات کاربردی ، دانشگاه لیدز

بیانیه افشای

Priya Subramanian برای کار ، مشورت ، سهام در اختیار ندارد و یا از هر شرکت یا سازمانی که از این مقاله بهره مند شود ، بودجه دریافت می کند یا بودجه دریافت می کند ، و هیچ وابستگی مربوط به آن فراتر از انتصاب دانشگاهی خود را فاش نکرده است.

شرکای

دانشگاه لیدز بودجه را به عنوان شریک بنیانگذار مکالمه انگلستان تأمین می کند.

مقاله گرافیکی را که در مدرسه استفاده کرده اید به یاد داشته باشید ، نوعی که با مربع های کوچک پوشانده شده است؟این تصویر کاملی از آنچه ریاضیدانان آن را "کاشی کاری دوره ای از فضا" می نامند ، با اشکال یک منطقه کامل و بدون همپوشانی و شکاف را پوشش می دهد. اگر کل الگوی را با طول یک کاشی (ترجمه شده) یا آن را با 90 درجه چرخانده ایم ، همان الگوی را بدست می آوریم. به این دلیل است که در این حالت ، کل کاشی کاری تقارن یکسان به عنوان یک کاشی واحد است. اما تصور کنید که یک حمام را به جای مربع ها با پنجه ها کاشی کاری کنید - غیرممکن است ، زیرا پنتاگون ها بدون ترک شکاف یا همپوشانی یکدیگر در کنار هم قرار نمی گیرند.

الگوهای (ساخته شده از کاشی ها) و کریستال ها (متشکل از اتم یا مولکول) به طور معمول مانند یک ورق کاغذ نمودار دوره ای هستند و دارای تقارن مربوط هستند. در بین کلیه تمهیدات ممکن ، این ترتیبات منظم در طبیعت ترجیح داده می شوند زیرا با کمترین میزان انرژی لازم برای جمع آوری آنها همراه هستند. در واقع ما فقط می دانیم که کاشی کاری غیر دوره ای ، که الگوهای تکرار شونده را ایجاد نمی کند ، می تواند برای چند دهه در کریستال ها وجود داشته باشد. اکنون من و همکاران من مدلی ساخته ایم که می تواند به درک چگونگی بیان این امر کمک کند.

در دهه 1970 ، فیزیکدان راجر پنروز کشف کرد که می توان با زاویه ها و طرفین پنتاگون الگویی از دو شکل مختلف ایجاد کرد. این به نظر می رسد که وقتی از زاویه های 72 درجه ای چرخانده می شود ، به این معنی که اگر آن را به صورت دایره کامل 360 درجه برگردانید ، از پنج زاویه مختلف به نظر می رسد. می بینیم که بسیاری از الگوهای کوچک در این الگوی بارها تکرار می شوند. به عنوان مثال در گرافیک زیر ، ستاره نارنجی پنج نکته ای بارها و بارها تکرار می شود. اما در هر حالت این ستاره ها با اشکال مختلف احاطه شده اند ، این بدان معنی است که کل الگوی هرگز از هیچ جهت تکرار نمی شود. بنابراین این گرافیک نمونه ای از الگویی است که تقارن چرخشی دارد اما تقارن ترجمه ای ندارد.

همه چیز در سه بعد پیچیده تر می شود. در دهه 1980 ، دن شچمن یک آلیاژ "آلومینیوم-مانگان" با یک الگوی غیر دوره ای را در همه جهات مشاهده کرد که هنوز هم تقارن چرخشی داشتند که با همان زاویه 72 درجه چرخانده شدند. تا آن زمان ، کریستال هایی که تقارن ترجمه ای نداشتند اما تقارن چرخشی در واقع غیرقابل تصور بودند - و بسیاری از دانشمندان این نتیجه را باور نداشتند. در حقیقت ، این یکی از موارد نادر بود که به دلیل یک کشف جدید ، تعریف "آنچه کریستال است" باید تغییر کند. مطابق مطابق ، این کریستال ها اکنون "Quasicrystals" نامیده می شوند.

عدد گنگ

الگوی تکرار شونده یک شبه از تعداد غیر منطقی در قلب ساخت آن ناشی می شود. در یک پنتاگون معمولی ، نسبت طول جانبی از ستاره پنج نقطه ای که می توانید در قسمت داخلی پنتاگون حک کنید ، به طرف پنتاگون واقعی شماره معروف غیر منطقی "Phi" است (که با PI اشتباه گرفته نمی شود)، که حدود 1. 618 است. این تعداد همچنین به عنوان نسبت طلایی شناخته می شود (و همچنین رابطه PHI = 1+1/PHI را برآورده می کند). در نتیجه ، هنگامی که یک شبه کریستال با کاشی هایی ساخته می شود که از پنتاگون گرفته می شود-مانند آنهایی که از آن استفاده می شود-تقارن چرخشی را در زاویه های 72 درجه مشاهده می کنیم.

ما این تقارن پنج برابری را هر دو در تصویر شبه کریستال به عنوان ده خط شعاعی در اطراف نقطه قرمز مرکزی (فوق) و همچنین در مدل مقیاس قسمت مرکزی شبه کرای ساخته شده با Zometool (در زیر) مشاهده می کنیم. در این مدل ، به فکر کردن به توپ های سفید کمک می کند تا مکانهایی باشند که ذرات/اتم های ساختار کریستال و میله های قرمز و زرد را پیدا می کنیم تا پیوندهای بین ذرات را نشان دهد ، که نمایانگر شکل ها و تقارن ساختار است.

در انتشار اخیر ما ، ما دو صفتی را که یک سیستم باید برای تشکیل یک شبه کرایستال سه بعدی مشخص کنیم ، شناسایی کردیم. نکته اول این است که الگوهای در دو اندازه مختلف (در مقیاس طول) که با نسبت غیر منطقی مناسب (مانند PHI) هر دو در سیستم رخ می دهند. و دوم اینکه اینها می توانند به شدت بر یکدیگر تأثیر بگذارند. این مدل علاوه بر الگوهای شبه کریستالی که هرگز تکرار نشده است ، می تواند ساختارهای کریستالی منظم دیگری مانند شش ضلعی ، مکعب های محور بدن و غیره را نیز تشکیل دهد. چنین مدلی امکان کشف رقابت بین همه این الگوهای مختلف را فراهم می کند و شرایطی را که تحت آن شبه کریستالها در طبیعت شکل می گیرند ، شناسایی می کند.

ریاضیات در مورد چگونگی ایجاد چنین الگوهای تکرار شونده در درک نحوه شکل گیری آنها و حتی در طراحی آنها با خصوصیات خاص بسیار مفید است. به همین دلیل است که ما در دانشگاه لیدز به همراه همکاران سایر موسسات مجذوب تحقیق در مورد چنین سؤالاتی هستیم.

با این حال ، این تحقیق فقط یک ایده ریاضی مفهومی نیست (گرچه ریاضیات پشت آن اعتیاد آور است) - این وعده برای بسیاری از کاربردهای عملی ، از جمله ساخت لیزرهای شبه کرایستال بسیار کارآمد ، نوید خوبی دارد. این امر به این دلیل است که ، هنگامی که از الگوهای کریستالی دوره ای در لیزر استفاده می شود ، یک پرتو لیزر کم مصرف با تقارن الگوی تکرار ایجاد می شود. داشتن نقص در الگوی کریستال یا در عوض با استفاده از یک الگوی شبه کریستالی که هرگز تکرار نمی شود در انتهای خروجی لیزر ، ایجاد یک پرتو لیزر کارآمد با قدرت خروجی اوج بالا امکان پذیر است. در کاربردهای دیگر ، برخی از محققان حتی در حال بررسی پایان های بازتابی هستند که در صورت اضافه شدن به رنگ خانگی ممکن است شبها را ایجاد کنند.